代数学特論II 要約 No.8

今日のテーマ:

例題 8.1 (ユークリッドの互除法)   等式

$$72l+56m=8$$

を満たす整数 $l,m$ の組を一組求めよ。

(解答) まず次のような計算を行なう

$$72 \div 56 = 1 16 \qquad\qquad 72= 56 \times 1 + 16 \qquad\qquad \begin{pmatrix}72\\ 56 \e... ...\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}56\\ 16 \end{pmatrix}$$

$$56 \div 16 = 3 8 \qquad\qquad 56= 16 \times 3 + 8 \qquad\qquad \begin{pmatrix}56\\ 16 \e... ... \begin{pmatrix}3 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}16\\ 8 \end{pmatrix}$$

$$16 \div 8 = 2 0 \qquad\qquad 16= 8 \times 2 + \qquad\qquad \begin{pmatrix}16\\ 8 \en... ...= \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}8\\ 0 \end{pmatrix}$$ 0

各々の行の行列算を組み合わせると、

$$\begin{pmatrix} 72\\ 56 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ ... ...egin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$$

を得る。この式の右辺に現れる正方行列はすべて $M_2({\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ の元として 可逆であることに注意して、上の式を次のように変形することが出来る。

$$\begin{pmatrix}8 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}... ...n{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}72\\ 56 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & ... ...gin{pmatrix}-3 & 4 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}72 \\ 56 \end{pmatrix}$$

この式の第一行に着目すると、 $8=(-3)\times 72+ 4\times 56$ を得る。

(答え)     $l=-3,m=4$.

この手法は一変数多項式環でも同様に使える。

問題 8.1   ${\mathbb{C}}[X]$ の元 $p(X)=X^{15}-1$ と $q(X)=X^{10}-1$ に対して、 $p,q$ の最大公約数 $d(X)$ をもとめ、さらに

$$l(X) p(X)+m(X) q(X)=d(X)$$

を満たす $l,m$ を求めよ。