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代数学特論II 要約 No.7
今日のテーマ:
定義 7.1
環
にあらたな元
を付け加えてできた環を
と書く。
付け加えるとはどういう意味だろうか。
大きく分けて二つの場合が考えられる。
- が大きな環 の部分環で、 は の元である場合。
- とにかく抽象的な元 を考えて、それが 上適当な関係式を
満たすとして付け加える場合。
前者の場合には、「 は、 の元と、 とを
加減乗除によってうまく組み合わせて作ったものの全体のなす環」
と考えればよい。
後者の場合には、具体的に を構成する必要がある。(
この場合には、 の関係式を別途記述する必要があるため、
という記号だけでは
通常不十分である。)
補題 7.1
モニックな
の元
に対して、
は環になり、
は
に
の根を一つ付け加えたもの
になっている。
補題 7.2
モニックな
の元
に対して、
を
上の行列環の部分環として実現することができる。
具体的な環に具体的な元を付け加えるような場合でも、一旦上のテクニックを
駆使することにより、環の理解を増すことができる場合がある。
例 7.1
のなかで、
自身は
に
を付け加えた環と
考えることができるが、これは
とも、
とも環としては同じ(同型)である。
例 7.2
のなかで、
に
を付け加えた環
を
考えることができる。これは
とも、
とも環としては同じ(同型)である。
命題 7.1
体
上のモニックな多項式
が
上既約ならば、
は体になる。逆も成り立つ。
問題 7.1
を行列環の部分環として実現せよ。
平成15年11月24日