代数学特論II 要約 No.5

今日のテーマ:

$n$ 次正方行列 $A \in M_n({\mathbb{C}})$ が与えられているとする。$A$ は

$$V={\mathbb{C}}^n ={\mathbb{C}}e_1+{\mathbb{C}}e_2 + {\mathbb{C}}e_3+\dots {\mathbb{C}}e_n$$

に作用し、 ${\mathbb{C}}[X]$ の $V$ への作用を

$$X.v=A v \quad (p(X).v=p(A).v)$$

で定義することができる。 和とスカラー倍に併せて、$X$ による作用も考えると、 (単因子の考え方を用いて) $V$ の生成元と 関係式を簡単化することができる。

定理 5.1 (定理4.1 を再掲)   $V$ は ${\mathbb{C}}[X]$-加群として ${\mathbb{C}}[X]/d(X){\mathbb{C}}[X]$ の形の加群の 直和と同型である。

とくに、巾零行列の表現空間は、 ${\mathbb{C}}[X]/X^k {\mathbb{C}}[X]$ の形の加群の 直和に分解される。

単因子の計算法は、第3回に述べたが、その時には比較的単純な 行列しか例に挙げなかった。本当は事情はもう少し複雑である。 (ユークリッドの互除法が必要になる。) レポート問題を参照のこと。

${\mathbb{C}}[X]/d(X){\mathbb{C}}[X]$ の部分が気になるかも知れない。 この部分は(先週の関数の設計のところにも書いた) $d(X)$ の 根による関数の分解をうまく用いる。

命題 5.2   $d_1(X),d_2(X)$ は互いに素な ${\mathbb{C}}$ 上の多項式であるとする。 このとき、 ${\mathbb{C}}[X]$-加群としての同型

$${\mathbb{C}}[X]/d_1(X)d_2(X) \cong {\mathbb{C}}[X]/d_1(X) \oplus {\mathbb{C}}[X]/d_2(X)$$

が存在する。(但し右辺への ${\mathbb{C}}[X]$ の作用は対角型

$$f. (g,h)=(f.g, f.h)$$

で定まっているものとする。)

定理 5.3 (行列のジョルダンの標準型)   任意の行列 $A \in M_n({\mathbb{C}})$ に対して、ある正則行列 $P\in M_n({\mathbb{C}})$ があって、 $B=P A P^{-1}$ は 次のような形の行列(ジョルダンブロックと呼ばれる)の 直和(対角に並んだ形)に等しくなる。

$$J_s(a)= \begin{pmatrix} a& 1 & \\ & a & 1 \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & a & 1 \\ & & & & a \end{pmatrix}$$

ここに、$s$ は $n$ 以下の整数、$a$ は複素数($A$ の固有値の一つ)である。 $B$ を $A$ のジョルダンの標準型という $J_1(a)=a$ であることにも注意しておこう。$A$ が対角化可能ならば、 $A$ を対角化したものが $A$ のジョルダンの標準型である。

ジョルダンブロックの形の行列は $J_s(a)=a E + N_s$ ($N_s$ は巾零行列)の 形をしていることにも、特に注意しておこう。 とくに、任意の多項式 $p(X)$ にたいして、

$$p(J_s(a))=\sum_{j=0}^s \frac{1}{j!}p^{(j)}(a)N_s^j$$

がなりたつ。とくに、$p(J_s(a))$ は $p$ の $a$ での$s$ 階までの微分の値 により完全に決まる。 $A$ のほうで言えば、$A$ の固有値全体の集合を $S$ とおけば、 $p(A)$ は $p$ の $S$ での(多く見積もっても$n$ 階までの)各階の導関数の値 によって完全に決まってしまう。

これは行列を $\exp(X)$ や $\sin(X)$ などの整関数 (全複素平面で正則な関数)や もっと一般に$A$ の固有値の近傍で正則な関数に代入するときのヒントになる。

問題 5.1   $f=X^3-8X^2+21X-18$, $g=X^2-2X$ のとき、

$$B= \begin{pmatrix} f & 0 \\ g & 0 \end{pmatrix}$$

にたいして命題 3.1 を満たす $P,Q$ および $PBQ$ を求めなさい。