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代数学特論II 要約 No.2
今日のテーマ:
次のことは予備知識として知っているものと仮定する。
定理 2.1
は代数的閉体である。すなわち、
上の1変数多項式 (つまり、
の元)で、定数でないもの は必ず少なくとも一つの根をもつ。
系 2.1
の元で、定数でないものは必ず一次式の積に分解できる。
さて、
次の正方行列
に対して、
は必ず一次従属であるから、
補題 2.1
モニックな
の元
で、
を満たすものが必ず存在する。
ということが分かる。このような
のうち、次数の 最小なものを
の最小多項式と呼ぶ。本講義では、 しばらく
の最小多項式のことを
と書くことにしよう。
(
は相異なる
の根で、
は それぞれの重複度)と因数分解することができる。
命題 2.2
を、
を満たすような部分空間
の直和に 分解することができる。すなわち、
なる式で
を定義すると、
と
は
の直和に分解される。
命題 2.3
次のような
の元
が存在する。 (具体的に
から計算可能である。)
定義 2.1
のことを
の
に属する弱固有空間という。
問題 2.1
次正方行列
(書いていない成分は全て 0 )に対して、命題
2.3
を満たす
を具体的に 求めよ。さらに、
を求めよ。
平成15年10月9日