(答え) で、 が で割り切れればよい。
(証明) 便宜上, 最初の写像を ,次の写像を とおく。 なら となるのは不可能なので、 の場合を考える。 このとき、 であるから, のときの と の値が一致するかどうか調べればよい。
いま、 なる整数 があったとすると、 フェルマの小定理により
逆に, と仮定しよう。 を で割った 商を , あまりを とおくと、全ての にたいして,
この問題に限らず、解答は証明(とは言わないまでもなぜその答えで正しいかの 説明)があってはじめて一人前である。
(答え)
これは簡単である。標数 0 なら で
標数が正のものに関しては、標数 の で
標数 の で,
などを反例にあげればよい。
(答え)
この問題はまちがっておった。二次式のほうは にすべきであった。 は既約でないからである。
問題のままでは, は一次式の積に分解できない。 ただし(なぜ分解できないかまで含めた)正しい指摘は皆無であった。寂しい限りである。
本当は の位数が 24 であることを用いる問題だった。
と の共通部分は の二点である。 それ以外は講義で説明した通りである。 念のために述べておくと、 とおいて, の元の 数を求める必要があるのだが、
(1) が で平方根を持つときには、 の元の数は の元の数と同じであって、 である。
(2) が で平方根を持たないときには, の元のうち 以外は
したがって が modulo で平方剰余ならば,
あとは、一般に,方程式系 に対して,
答えは
が平方剰余のとき(つまり を で割ったあまりが または のとき,
座標 の値によって の元を分類すればよい。 (これは幾何学的には円錐を平面で切ることにあたる). のときは、 の解の数だが、これは先刻承知()のはずである。 のときは、, を と変数変換することにより, をえる。 この解の数は前問同様 になる。あとはそれらを足せばよい。
(答え)
MuPAD の powermod 関数をつかえば簡単であった。答えは である。 したがって、フェルマの小定理の対偶により, は素数でないことがわかる。 念のためにいっておくと, だからと言って、 が 素数であるとは限らない。
powermod なんぞ知らぬという人のほうが多いであろう。 次の等式を何度も使えばよい。
いずれにせよ、計算機を活用しないと面倒な問題であった。