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代数学II 要約 No.13
今日のテーマ:
前回、平方剰余の相互法則の証明が残ってしまっていた。
ガウスの和の定義の復習から書いておこう。
定義 13.1
は相異なる奇素数であるとし、
の拡大体の
の原始
-乗根
を取る。
整数
に対して、有限体のガウス和
を
で定義する。
のことを単に
とかく。
ついでにこの定義の意味についてもう少しだけ述べておこう。
まず、上の は次のようにしてとることができる。
は位数
の巡回群で、
その生成元を とおく。
フェルマーの小定理により
は で割り切れるから、
を考えることができる。この元の
位数はちょうど であるから、これを とすればいい。
なお、 の取り方は一意的ではなく、
1の 乗根は
の 個ある。
これらに対応して ができる。下の補題の(1)はそれらが符号の差を除いて
等しいことを述べている。ただし、 のときだけは
特別で、 がなりたつ。
定理 13.1 (平方剰余の相互法則)
奇素数
に対して次の等式が成り立つ。
-
(但し
)
問題 13.1
,
にたいして、
の
の原始
-乗根を
一つ見つけ、ガウスの和
を求めて、
を実際に計算してみなさい。
問題 13.2
奇素数
と、体
が与えられていて、
の原始
乗根
が
のなかに存在するとする。
(とくに、
の標数は
ではない。)
上の
-値関数の全体
は (各点ごとの加法、スカラー倍により)
上のベクトル空間になり、
上に内積が
で定まる。(証明不要)
- の 上の次元を求めよ。(答のみでよい。)
- (指標の直交性。)
に対して、 の元 を、
で定義するとき、内積
を求めよ。
-
は の基底であることを示しなさい。
さらに、 の元 を
と書くためには、 をどのように求めればよいか、述べなさい。
問題 13.3
前問と同じ仮定の下で、
フーリエ変換
を、
で定義する。このとき、
-
がなりたつこと
を示しなさい。
-
を計算し、
の逆変換を求めなさい。
- 任意の に対して、
が
成り立つことを示しなさい。
- を
で定義する。 は
の固有ベクトルであることを示し、
それが属する固有値を求めなさい。
2002年7月15日