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代数学II 要約 No.12
今日のテーマ:
前回、次の補題が残ってしまっていた。
命題 12.1 (命題11.1と同じ)
上の既約な1変数多項式
次多項式
に対して、
の合同ゼータ関数は
で与えられる。
一般に、ゼータ関数が によってどのように変わるかは複雑である。
例えば は各素数 に対して
上の多項式と見られるが、
それが既約かどうかは によって異なる。
どのような に対して既約であるかを判定するのに
便利なのが、平方剰余記号とその相互法則である。
相互法則の証明はいろいろ知られているが、この講義の話の応用として
有限体上のガウス和を用いた証明を紹介する。
定義 12.1
奇素数
と、
で割れない整数
に対して、
平方剰余記号(Legendre 記号)を
により定義する。
が
の倍数の時には、
と定義する。
補題 12.2
奇素数
に対して、次の式が成り立つ。
-
-
とくに
にも注意しておく。
定義 12.2
は相異なる奇素数であるとし、
の拡大体の
の原始
-乗根
を取る。
整数
に対して、有限体のガウス和
を
で定義する。
のことを単に
とかく。
(なぜ、上の補題のような計算をしたくなるのか、
その一つのヒントはフーリエ級数論にある。)
上の補題を使うと次の定理を証明できる。但し(3)の証明は問題に譲る。
問題 12.1
上の多項式
は既約かどうか判定しなさい。
ヒントをつけると簡単すぎるのでノーヒント。
問題 12.2
は奇素数であるとする。
上の多項式
に対して、その定める方程式(系)
の
ゼータ関数
を求めよ。
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平成14年8月15日