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代数学II 要約 No.7
今日のテーマ:
前回、いくつかの定理と補題の証明が残ってしまっていた。
定理 7.1 (定理6.1と同じ)
素数
と正の整数
にたいして、 元の数が
の体は存在する。
もっと詳しくいうと、
が一次式の積に分解するような体
(前の補題によって存在する) をとり、
のなかの
の根の全体を
とおくと、
は体で、その元の数は
になる。
この定理のうち、 が体で、その元の数が 以下であることは前回
証明した。 の元の数がちょうど 個であることを示すには、
多項式の微分の概念を知っておいた方が便利である。
補題 7.1
体
上の多項式
に対して、
その微分を
で定義する。この時、
- 微分は の係数体をどう選ぶかに関係しない。
- 微分は -線型である。
-
.
定理 7.2 (定理6.2とおなじ)
有限体
にたいして、位数が
であるような
の元
が存在する。
言い換えると、
の乗法群
は巡回群である。
系 7.1
素数
と正の整数
に対して、
上の既約多項式
で、
その次数が
のものが存在する。
注意:次の問題は(いつもの例に反して)難易度の順に並んでいない.
解きやすいものをとくこと。
また、これらは本質的に違う問題というわけではないので、今回は
一問のみを選んで解くこと。
問題 7.1
元の数が
の体
を
の形でつくり、
その
に対して
の生成元を一つ求めなさい。
問題 7.2
元の数が
の体
を
の形でつくり、
その
に対して
の生成元を一つ求めなさい。
問題 7.3
元の数が
の体
を
の形でつくり、
その
に対して
の生成元を一つ求めなさい。
2002年6月4日