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代数学II 要約 No.6
今日のテーマ:
定義 6.1
体
に対して
は
で可逆
は群になる。これを
の乗法群と呼ぶ。
の元
にたいし、
の(
の元としての群論での意味の) 位数を
の乗法的位数、あるいは単に位数と呼ぶ。 つまり、
の位数
今回は有限体に対してその乗法群の構造を調べ、 さらに有限体の存在について述べる。
補題 6.1
体
の元の数が
であるとすると、
の任意の元は
の根である。
補題 6.2
体
の上の任意の(既約とは限らない)多項式
に対して、 ある
の有限次拡大体
で、
を
上で考えれば一次式の 積に分解するようなものが存在する。
定理 6.1
素数
と正の整数
にたいして、 元の数が
の体は存在する。 もっと詳しくいうと、
が一次式の積に分解するような体
(前の補題によって存在する) をとり、
のなかの
の根の全体を
とおくと、
は体で、その元の数は
になる。
補題 6.3
有限体
に対して、
と定義すると、
であるのは
が
の約数の時に限る。
から
までの整数で,
と互いに素なものの数
定理 6.2
有限体
にたいして、位数が
であるような
の元
が存在する。 言い換えると、
の乗法群
は巡回群である。
問題 6.1
の生成元(位数が
の元)を一つ求めなさい。 (もちろん理由も書くこと)
諸君のレポートは理学部二号棟5階東端の数学閲覧室の前に ぶら下がっている袋にあるので各自とっていくこと
2002年5月22日