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代数学特論 II 要約 No.12
今日のテーマ:
今回を通じて、
,
(-上の -変数
有理式のうちで、
の対称式であるもの全体)
とおく。
定理10.1 で現れる
の部分群
による不変体
という対応は、じつは
の部分群と、
と
の
中間体(
の部分体で
を含むもの) の間の一対一
対応を与えている。
この一般化がいわゆるガロア理論である。
この講義ではそこまで触れられなかったが、
定理10.1 の証明そのものは(4)を除きほぼ完結している。
ここではその証明の補遺になるものをいくつか問題としておく。
いま、
の部分群
をとって、
さらに
を
なるように選ぶと、
補題10.2 (と講義での注意)で証明した通り、
は
上の
の最小多項式になり、したがって
がなりたつ。
このことから、定理10.1 の(1),(2),(3)はすぐに従う。
このような
の存在(補題10.3) を示すためには、
次のような問題を解けば良い。
問題 12.1
,
(
-上の
-変数
有理式のうちで、
の対称式であるもの全体)
とおくとき、
を求めよ。
問題 12.2
補題10.3 の条件のもとで、
の
上の共役元をすべて求めなさい。(それらは何個あるか?)
問題 12.3
上の二つの問題から、補題10.3 の従うことが分かる。それはなぜか。
定理10.1(4) を証明するのは今回の講義だけの知識では
少し足りない。どのような道筋で証明されるかは、
次の二つの問題の形式で出しておこう。解けなくても気にやむ必要はない。
問題 12.4
の
-同型、すなわち、
から
への環準同型
で
全単射であり、かつ
の上では恒等写像であるものは、
のある元
による作用で与えられること、
すなわち、
を示しなさい。
最後に、次のような問題を出しておこう。解けば不変式の知識が深まるに違いない。
問題 12.6
とする。
の部分群
で、自明でないもの
(つまり、
でも
自身でもないもの)を一つ挙げ、
の元
で
の元ではないものを一つ挙げなさい。
できれば
としてはもっと縛りのきついものをとって欲しい
(ちょうど
の元のみについて対称になるものを選んで欲しい)が、
それについては問わない。
この問題に限り一つの
について一問と勘定することにする。
(ただし「単なる文字のつけかえ」すなわち例えば
と
などは実質的に
同じであるから(
として違うものを挙げたとしても)同じ問題とみなす。)
2002-01-16