代数学特論 II 要約 No.7

今日のテーマ:

前回次のことを示すことを残していた。

補題 7.1   体 $K$ 上の一変数多項式 $f(X)\in K[X]$ に対して、 $K$ の有限次代数拡大体 $L$ が存在して、$L[X]$ の元としては $f(X)$ は

$$f(X)=c\prod_{i=1}^d (X-\alpha_i) \quad (\alpha_i \in L)$$

のように一次式の積に分解する。

また、レポートで一変数の多項式の既約性の問題がでたので次のことを補足しておく。

補題 7.2   体 $k$ 上の次のような一変数多項式は $k$ 上既約である。

1.

$k$ 上の2次式や3次式で $k$ のなかに根を持たないもの。

では本題にうつる。次の例は二次拡大の様子をよく表している。

補題 7.3   $R={\Bbb C}[X,A,B]/(X^2+AX+B)$, $S={\Bbb C}[A,B]$ とおき、さらに、$R$ の元 $Y,D$ を $Y=X+A/2, D=A^2-4B$ で決める。 $R_0={\Bbb C}[Y,D] ,S_0={\Bbb C}[D]$ とかくとき、次のことが成り立つ。

1.

$L=Q(R)$ は $K=Q({\Bbb C}[A,B])={\Bbb C}(A,B)$ の二次拡大である。

2.

$L_0=Q(R_0)$ は $K_0=Q(S_0)$ の二次拡大である。

3.

$L,K$ はそれぞれ $L_0,R_0$ 上の一変数有理関数体と等しい。

4.

拡大 $L\supset K$ は $L_0\supset K_0$ に変数を一つ付け加えることに よって得られる拡大に等しい。

5.

$R\subset S$ に対応する代数的集合の間の対応は $D=0$ の部分を除いて $2:1$である。

上の $D$ はもちろん $X$ の二次式 $X^2+AX+B$ の判別式である。 一般に、既約な代数的集合 $V$ と、その上の座標環 $A(V)$ の元 $a,b$ をとったとき、 $K(V)=A(V)$ に $X^2+aX+b=0$ を満たす元 $X$ を付け加えた体 $L=K(V)[X]/(X^2+aX+b)$ を考えることができて、その写像の様子も上の補題の ように $d=a^2-4b$ から判断できる。ただし、既約性の問題は残る。

問題 7.1   二次元平面 ${\Bbb A}^2({\Bbb C})$ (ただし、座標変数は $Y,Z$ とする) の代数的部分集合 $V=V(Y^2-Z^3)$ を考える。

1.

$V$ の概形をかきなさい。( $\mbox{${\Bbb R}$ }^2$ に制限して書いて構わない)

2.

$A=A(V)$ に $X^2-Z=0$ を満たす変数 $X$ を付け加えた環 $B=A[X]/(X^2-Z)$ を座標環に持つような代数的集合のグラフを 3次元で描いて、 $V$ のグラフとの関係を調べなさい。

3.

$B$ は整域ではないこと($X^2-Z$ は既約ではないこと)を示しなさい。 (したがって、この例は体論としては使いにくい。)