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代数学特論 II 要約 No.2
今日のテーマ:
定義 2.1 (環に元を付け加えてできる
環)
環
と、その部分環
,
および
の元
が
与えられているとする。
このとき、
と
とを含む
の部分環のうち最小のものを
(
角括弧に注意)
と書き、
に
を付け加えてできる環と呼ぶ。
一般に、体
と、その部分体 ,
および
の元
が
与えられていたとしても、
は体とは限らない。
定義 2.2 (体に元を付け加えてできる
体)
体
と、その部分体
,
および
の元
が
与えられているとする。
このとき、
と
とを含む
の部分体のうち最小のものを
(
丸括弧に注意)
と書き、
に
を付け加えてできる体と呼ぶ。
上の二つの定義では、すでに存在する
を
付け加えることを考えているが、
「変数」
を付け加えたものもそれに準じて定義される。すなわち、
- 環
に対して、
(角括弧)は
を係数にもつ
変数の多項式環であり、
- 体
に対して、
(丸括弧)は
を係数にもつ
変数の有理関数体である。
◆ 角括弧と丸括弧の使い分けは次のように覚えておくと良い。
環を作る→角括弧
体を作る→丸括弧
と
との違いがわかることが大事である。
補題 2.1
整域
が与えられている時、形式的な「分数」の全体
の全体に同値関係を
でいれると、商集合
はおなじみの算法
によって体になる。
定義 2.3
上の
のことを
と書き、
の全商体と呼ぶ。
補題 2.3
整域
は体
上環として有限生成であるとする。
すなわち、ある
という
の有限個の元があって、
が成り立っているとする。
さらに、
上の整域
と、
から
への
-準同型写像
が与えられているとする。
このとき、ある
の元
と環準同形写像
であって、
が
の拡張になっているものが存在する。
問題 2.1
から
への準同形写像
が、
で与えられているとする。(
が体の準同型であることは
全く自明というわけでもないが、ここではそれは認めておくことにする。)
このとき、補題
2.3にあるような
と
を求めよ。
問題 2.2
から
への準同形写像
を、
で与えることはできない。これはなぜか答えなさい。
2001-10-02