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代数学 II 要約 No.10
今日のテーマ:
定義 10.1
環
から環
への写像
が(環としての)準同型写像であるとは、
が次の条件を満足するときにいう。
1.
2.
3.
が上の条件に加えて全単射でもあるときには
の逆写像も 準同型写像になることが容易に分かる。このような(全単射準同型であるような)
のことを(環としての)同型写像という。
定義 10.2
体
を含む環
から環
への準同型
が
-準同型写像であるとは、
が
の元を保つとき、 すなわち、
が成り立つときに言う。
(条件1 は、
が
から
への加群としての 準同型写像であることを言っている。)
補題 10.1
は体
を含む環とする。このとき、
1.
多項式環
から
への
-準同型
は
の行き先
によって 一意に決まる。
2.
逆に、
の元
を任意に与えたとき、
を満たす
から
への
-準同型が唯一つ存在する。
3.
のイデアル
が与えられたとき 「
から
への
-準同型
で、
を満たすもの」 と 「
から
への
-準同型」とは一対一に対応する。
補題 10.2
代数的集合
と
とが与えられたとし、 それらのアフィン環をそれぞれ
,
と書くと、
1.
の点は
から
への
-準同型と一対一に対応する。
2.
から
への
-準同型
が与えられると、
から
への写像
が、
によって定まる。
定義 10.3
1.
から
への環準同型
によって上の補題のようにして定まる
から
への写像を
から
への射(あるいは多項式写像)と呼ぶ
2.
とくに、もし
が同型ならば
は全単射であり、その逆写像も 多項式写像で与えられる。このように環の同型写像から決まる
から
への全単射のことを代数的集合の同型射とよぶ。
例 10.1
とし、
,
とおく。このとき、
1.
,
である。
2.
での
のクラスをそれぞれ
と書くことにすると、
がなりたつ。
3.
(見方を変えれば)
の上に住んでいる人にとってはその
座標と
座標をそれぞれ表す関数には上のような関係がある。
4.
から
への
-準同型
を
で定義することができる。
5.
は次のような写像である。
問題 10.1
から
への準同型
を、
で定義するとき、次の各問に答えなさい。
1.
による
軸の像をグラフに書きなさい。
2.
による
軸の像をグラフに書きなさい。
3.
の部分集合
をグラフに書きなさい。
4.
をグラフに書きなさい。
5.
の逆写像を求めなさい。
問題 10.2
について前問と同様な問題をときなさい。
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2001-07-24