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代数学 II 要約 No.2
今日のテーマ:
前回プリントには書かなかったが、この講義ではとくに断らない限り「環」といえば
単位元を持つ可換環のことを意味する。
(なお、老婆心ながら、前回の「定義1.1」はちゃんとした定義ではない。
正確な定義は代数学C または代数学Iの講義で学んでいるはずである。)
(注意)
一般に、環
の元
が与えられているとき、
のことを単に
と丸括弧を使って書くことが多い。一般に数学では丸括弧に特別な意味をもたせることは
あまりないが、この「...で生成されるイデアル」は例外である。
数学ではよく用いられるし、楽でもあるので、本講義でもこの記号を用いることが
あるが、混乱しないように十分注意すること。
補題 2.1
体
と正の整数
が与えられているとする。
の部分集合
にたいして、
上で
になる多項式の全体
は
のイデアルである。
補題 2.2
体
と正の整数
が与えられているとする。
の部分集合
に対して、
の共通零点の集合
は
で生成された
のイデアル
の共通零点の集合
と一致する。
系 2.1
体
と正の整数
が与えられているとする。
の部分集合
があって、もし
で生成された
のイデアルと
で生成された
のイデアルが
一致する、すなわち
が成り立つならば、
の共通零点の集合と
の共通零点の集合は
一致する。すなわち
である。
上の理由から、
は
がイデアルのときのみを考えればじゅうぶんである。
一般に、
の形の集合を代数的集合と呼ぶ。
(注意)
だからといって
とは限らない。
補題 2.3
体
と正の整数
をきめ、
とおく。
このとき、
のイデアルの零点集合に対して次の諸式が成り立つ。
- 1.
-
- 2.
- もっと一般に
- 3.
-
- 4.
-
- 5.
系 2.2
は、代数的集合の全体を閉集合として、位相空間をなす。
この位相のことを Zariski 位相と呼ぶ。
Zariski 位相は代数幾何学で基本的な役割を果たす。
この位相は(よく使われる位相のなかでは珍しく)Hausdorff 空間ではない。
問題 2.1
- 1.
-
を図示しなさい。
- 2.
- イデアルの等式
を証明しなさい。
(注意)
1. は 2. を考える上でヒントにはなるが、2.の証明は 1. とは別に
付ける必要がある。
Yoshifumi Tsuchimoto
2001-05-01