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代数学特論 I 要約 No.9
今日のテーマ:
定義 9.1
-加群
が与えられているとする。
の部分集合
が
の
-部分加群
であるとは、
が
の部分加群で、かつ
の作用について閉じているときに
いう。
いいかえると、
の -部分加群とは
「
の部分集合で -加群の構造を持つもの」である。
(ただし、-加群としての構造は
のものを制限して
得られるものでなければならない。)
補題 9.1
環
と
-加群
が与えられているとする。
の元
に対して、次のことは同値である。
- 1.
-
は
を生成する。
- 2.
-
- 3.
-
から
への写像
は全射である。
定義 9.2
が(
-加群として)有限個の元で生成されるとき、
「
は有限生成
-加群である」という。
定義 9.3
可換環
の任意のイデアルが有限生成であるとき、
はネーター環であるという。
PID は当然ネーター環である。とくに整数全体のなす環
および
体
上の1変数多項式環
はネーター環である。
一般に、ネーター環
上の -変数多項式環
は
ネータ環であることが知られている(ヒルベルトの基定理)。
これについては、本講義で時間があれば証明することにする。
のイデアルと一般の
加群の間には次のような関係がある。
補題 9.3
可換ネーター環
上の有限生成
加群
が与えられているとする。
このとき、
の
-部分加群は必ず
上有限生成である。
系 9.1
可換ネーター環
上の有限生成
加群
に対して
次のような
-加群の完全系列が存在する。
但し、一般に -加群の完全系列
とは、
ともに -加群の準同型であって、
が成り立つときにいう。
従って、 (※)が完全系列であるとは、
- 1.
-
は 全射である。
- 2.
-
という二つのことを言っていることになる。
とくに、
は
という同型を誘導する。
は
から
への -準同型であるから、行列の形で書ける。
この行列の標準型を求めるのが、次回の課題である。
(例)
上の加群の準同型
を
で定義する。このとき、
- 1.
-
は 全射である。実際、
とおくと、
である。
- 2.
-
の生成元としては、例えば次のものをとることができる。
実際、簡単な行列式の計算により、
の列ベクトルに上の二つのベクトルを加えたものは
を
生成することがわかる。
問題 9.1
上の加群の準同型
を
で定義する。このとき、
- 1.
-
は 全射であることを示しなさい。
- 2.
-
を生成するような有限集合の例をあげなさい。
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Yoshifumi Tsuchimoto
2000-11-24