代数学特論 I 要約 No.8

今日のテーマ:

$R$-加群を扱うテクニックは、ベクトル空間や加法群を扱うときのテクニックと ほぼ同様のものが使える。今回はそのなかでも主だったものを一通りあげておく。

定義 8.1   $R$-加群 $M$ が与えられているとする。$M$ の部分集合 $N$ が $M$ の $R$-部分加群 であるとは、$N$ が $M$ の部分加群で、かつ $R$ の作用について閉じているときに いう。

いいかえると、$M$ の $R$-部分加群とは 「$M$ の部分集合で $R$-加群の構造を持つもの」である。 (ただし、$R$-加群としての構造は $M$ のものを制限して 得られるものでなければならない。)

補題 8.1   環 $R$ と $R$-加群 $M$ が与えられているとする。$M$ の 部分集合 $S$ に対して、次のことは同値である。

1.

$S$ を含む $M$ の部分加群は $M$ 自身しかない。

2.

$M=\{\sum_{\text{有限和}} r_i s_i; r_i \in R , s_i \in R\}$

定義 8.2   $S$ がうえの補題の性質を満たすとき、「$S$ は $M$ を生成する」という。

定義 8.3   $R$-加群 $M,N$ が与えられているとする。$M$ から $N$ への写像 $\phi$ が $R$-準同型写像(=$R$-加群としての準同型写像)であるとは、次の二つの性質を 満たすときにいう。

1.

$\phi$ は加群としての準同型である。すなわち、

$$\phi(m_1+m_2)=\phi(m_1)+\phi(m_2) \quad (\forall m_1,m_2 \in M)$$

が成り立つ。

2.

$\phi$ は $R$ の作用を保つ。すなわち、

$$\phi(r.m)=r.\phi(m) \quad (\forall r\in R, \forall m \in M)$$

が成り立つ。

補題 8.2   環 $R$ と $R$-加群 $M$, および $M$ の $R$-部分加群 $N$ が与えられているとする。 このとき、商加群 $M/N$ には $R$-加群の構造が自然に入る。

この $M/N$ のことを $M$ の $N$ による商 $R$-加群という。

定理 8.1   ] $R$ 加群 $M,N$ と $R$-準同型 $\phi: M\to N$ が与えられているとする。 このとき、

1.

$\phi$ の像 $\operatorname{Image}(\phi)$ は $N$ の $R$-部分加群である。

2.

$\phi$ の核 $\operatorname{Ker}(\phi)=\{m\in M; \phi(m)=0\}$ は $M$ の $R$-部分加群である。

3.

$\phi$ は自然な同型 $M/\operatorname{Ker}(\phi)\cong\operatorname{Image}(\phi)$ を誘導する。

問題 8.1   環 $R={\mbox{${\Bbb Z}$ }}/12{\mbox{${\Bbb Z}$ }}$ 上の加群$M$,$N$ を

$$M=R^3, N=R^2$$

で定め、$M$ から$N$ への$R$-準同型 $\phi$を

$$\phi( \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}) = \begin{p... ...& 3& 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$$

で定める。 このとき、

1.

$\phi$ は全射ではないことを示しなさい。($\phi$ の像になり得ない元を 一つあげ、その理由を述べなさい。)

2.

$\phi$ の像の生成元を求めなさい。

3.

$\phi$ の核の生成元を求めなさい。