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代数学特論 I 要約 No.4
今日のテーマ:
今回も、
といえば体を指すものとする。
補題 1
が与えられているとする。
の直和分解
があって、
かつ
をみたすなら、 ある正則行列
があって、
は
とブロック分割される。
上の補題と前回までの結果を組み合わせると 次の補題が得られる。
補題 2
が与えられているとする。
の固有多項式
が
のなかで一次式の積に分解される
ならば、 次のような正則行列
が存在する。
1.
は
とブロック分割される。
2.
各
のサイズは
である。
3.
の固有値は
ただ一つ(重複度は
) のみである。
固有値が(重複度を除いて)ただ一つであるような行列の標準形をあたえれば、行列の 標準形が得られることになる。
補題 3
1.
の固有値が(重複度を除いて)
ただ一つであって、 それが
に属するなら、
は巾零である。
2.
巾零行列
があたえられているとき、 ある正則行列
があって、
とブロック分割される。ただしここで各
は
という行列(サイズはいろいろあり得る。)である。
定理 1
(行列のジョルダンの標準形) 行列
の固有多項式が
のなかで一次式の積に分解されるならば、 ある正則行列
があって、
は
のタイプの行列を対角に並べ、あとは 0であるような行列になる。 この行列
を
のジョルダンの標準形と呼ぶ。
問題 4.1
つぎの各行列
にたいし、
が
のジョルダンの標準形となるような
と、そのジョルダンの標準形
を求めよ。
1.
2.
3.
Yoshifumi Tsuchimoto
2000-10-23