代数学特論 I 要約 No.3

今日のテーマ:

今回も、$k$ といえば体を指すものとする。

前回、次の補題を証明し残した。

補題 1 (前回の補題2.5)   $A\in M_n(k)$ が与えられていて、その最小多項式 $f$ が $k$ 上の多項式として 一次式の積 に分解できた

$$f(X)= (X-\lambda_1)^{e_1} (X-\lambda_2)^{e_2} (X-\lambda_3)^{e_3} \dots (X-\lambda_l)^{e_l}$$

とする。このとき、 $k^n$ の直和分解

$$k^n =V_1\oplus V_2\oplus V_3\oplus \dots \oplus V_l$$

で、

1.

$AV_i\subset V_i$

2.

各 $V_i$ 上では $A-\lambda_i E$ は巾零

となるものが存在する。$V_i$ は次の諸性質を満たす。

1.

$V_i$ での $A$ の最小多項式はちょうど $(X-\lambda_i)^{e_i}$ である。

2.

$V_i=\{v\in k^n; A^Nv=0 \quad(\exists N>0) \}$

3.

$V_i=\{v\in k^n; A^{e_i}v=0 \}$

4.

ある $p_i\in k[X]$ があって、 $P_i=p_i(A)$ は巾等($P_i^2=P_i$)かつ、 $V_i=P_i( k^n)$ がなりたつ。

定義 1 (前回の定義2.3)   $V_i$ のことを $A$ の固有値 $\lambda_i$ に属する弱固有空間と呼び、 $P_i$ のことを $V_i$ に対応する射影と呼ぶ。 。

定理 1 (Cayley-Hamilton)   $n$-次の正方行列 $A$ に対して、その固有多項式 $\Phi_A$ を

$$\Phi_A(X)=\det(XE-A)$$

で定義する。このとき、 $\Phi_A(A)=0$ がなりたつ。

問題 3.1   次の(複素数を成分にもつ)各行列の固有値(重複は考慮しない)と、 それに属する弱固有空間に対応する射影を全て求めよ。

1.

$$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 9 & 8\\ -1 & 1 & 7& 6\\ 0 & 0& 5 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \end{pmatrix}$$

2.

$$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 &3 & 4\\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$