代数学特論 I 要約 No.2

今日のテーマ:

今回は、$k$ といえば体を指すものとする。

定義 1   $M_n(k)$ の元 $A$ が与えられたとする。 もし $A$ の最小多項式とは、$f(A)=0$ を満たすような $f\in k[X]\setminus \{0\}$ のうち次数が最小のもののことである。

補題 1   $M_n(k)$ の元 $A$ が与えられたとする。このとき、

1.

$A$ の最小多項式 $f$ は定数倍を除いて一意に存在する。

2.

環としての同型 $k[A]\isoto k[X]/(f)$ がなりたつ。

補題 2   $M_n(k)$ の元 $A$ が与えられたとし、その最小多項式を $f$ とする。 このとき、任意の $a\in k$ に対して、

$$\text{$A-aE $ は可逆行列}\ \iff\ f(a)\neq 0$$

がなりたつ。

定義 2   $A$ の最小多項式 $f$ の根(重複は考慮しない)を $f$ の固有値と呼ぶ。

(注意) 重複を考慮した固有値の定義には次の Cayley-Hamilton の定理 が必要になる。

定理 1 (Cayley-Hamilton)   $n$-次の正方行列 $A$ に対して、その固有多項式 $\Phi_A$ を

$$\Phi_A(X)=\det(XE-A)$$

で定義する。このとき、 $\Phi_A(A)=0$ がなりたつ。

この定理の証明については次回に述べる。さしあたって今日(のレポート問題) はこの定理を眺めて $A$ の最小多項式の候補を見付けることだけで満足しておく ことにする。

直和分解と巾等行列の関係について復習しておこう。

補題 3   $P\in M_n(k)$ が巾等($P^2=P$) ならば、次のことが成り立つ。

1.

$Q=E-P$ も巾等であり、

$$PQ=0, QP=0, P^2=P, Q^2=Q, P+Q=E$$

がなりたつ。

2.

$k^n$ の元 $v$ は

$$v=v_1+v_2 \quad (v_1\in \Image(P) , v_2\in \Image(Q))$$

と一意的に書ける。(すなわち、$k^n$ は $\Image(P)$ と $\Image(Q)$ との 直和である。

補題 4   任意の $A\in M_n(k)$ と任意の $a\in k$ に対して次のような $k^n$ の直和分解 $k^n =V\oplus W$が存在する

1.

$AV \subset V$, $AW \subset W$.

2.

$V$ 上では $A-aE$ は巾零 $($つまり、$V$ 上の$A$ の最小多項式は $(X-a)^l$ $(\exists l)$.$)$

3.

$W$ 上では $A$ は可逆 $($つまり、$W$ 上の $A$ の最小多項式は $a$ を解にもたない$)$

補題 5   $A\in M_n(k)$ が与えられていて、その最小多項式 $f$ が $k$ 上の多項式として 一次式の積に分解できた

$$f(X)= (X-\lambda_1)^{e_1} (X-\lambda_2)^{e_2} (X-\lambda_3)^{e_3} \dots (X-\lambda_l)^{e_l}$$

とする。このとき、 $k^n$ の直和分解

$$k^n =V_1\oplus V_2\oplus V_3\oplus \dots \oplus V_l$$

で、

1.

$AV_i\subset V_i$

2.

各 $V_i$ 上では $A-\lambda_i E$ は巾零

となるものが存在する。$V_i$ は次の諸性質を満たす。

1.

$V_i$ での $A$ の最小多項式はちょうど $(X-\lambda_i)^{e_i}$ である。

2.

$V_i=\{v\in k^n; A^Nv=0 \quad(\exists N>0) \}$

3.

$V_i=\{v\in k^n; A^{e_i}v=0 \}$

4.

ある $p_i\in k[X]$ があって、 $P_i=p_i(A)$ は巾等($P_i^2=P_i$)かつ、 $V_i=P_i( k^n)$ がなりたつ。

定義 3   $V_i$ のことを $A$ の固有値 $\lambda_i$ に属する弱固有空間と呼び、 $P_i$ のことを $V_i$ に対応する射影と呼ぶ。 。

問題 2.1   次の(複素数を成分にもつ)各行列の固有値(重複は考慮しない)と、 それに属する弱固有空間に対応する射影を全て求めよ。

1.

$$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$

2.

$$\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}$$

3.

$$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$$