Next:
About this document ...
代数学 II 要約 No.13
以下では、証明の便のため、
は無限個の元をもつ体であるとする。 (以前の問題の結果を用いれば、この条件は取り除くことができる。)
定義 13.1
体
とその拡大体
とが与えられているとする。
の部分群
にたいし、
と定義する。(これは体になることが容易にわかる。)
のことを、
による不変体と呼ぶ。
補題 13.1
体
とそのガロア拡大体
とが与えられているとする。
の任意の部分群
にたいし、次のことが成り立つ。
1.
の任意の元
にたいし、
の対称式は
に属する。
2.
がなりたつ。
定理 13.1
体
とそのガロア拡大体
とが与えられているとする。 このとき、
1.
と
との間の任意の中間体
にたいして、
は
のガロア拡大であり、
は
の部分群である。
2.
の部分群
に対して、
は
と
の間の中間体である。
3.
上の二つの対応は互いに逆対応を与える。すなわち、
の部分群と、
と
の間の中間体とは一対一に対応する。
4.
上の対応で、
の正規拡大に対応するのは
の正規部分群である。
(例題)
1.
の
上の拡大次数を求めよ。
2.
の
上の最小多項式を求めよ。
3.
の部分体を全て求めよ。
4.
の
上の拡大次数を求めよ。
5.
をふくむ
のガロア拡大のうち 最小のもの
を求めよ。
6.
の部分体を全て求めよ。
7.
をふくむ
のガロア拡大のうち 最小のもの
を求めよ。
8.
の部分体を全て求めよ。
9.
とする。
の
上の最小多項式
と
の
上の最小多項式
にたいして、
と
との最大公約数をもとめよ。 (答えは
係数の多項式として書くこと) さらに、
を
の
係数の有理式として表現せよ。
10.
前問で、
のかわりに
ならどうか。あるいは、
ではどうか。
Yoshifumi Tsuchimoto
2000-07-06