Next: About this document ...
代数学 II 要約 No.2
定義 2.1 (可換体の定義)
環
が可換体であるとは、
が可換であって、さらに、
以外の
の元が全てかけ算について逆元をもつときに言う。
定義 2.2 (環に元を付け加えてできる
環)
環
と、その部分環
,
および
の元
が
与えられているとする。
このとき、
と
とを含む
の部分環のうち最小のものを
(
角括弧に注意)
と書き、
に
を付け加えてできる環と呼ぶ。
一般に、体
と、その部分体 ,
および
の元
が
与えられていたとしても、
は体とは限らない。
定義 2.3 (体に元を付け加えてできる
体)
体
と、その部分体
,
および
の元
が
与えられているとする。
このとき、
と
とを含む
の部分体のうち最小のものを
(
丸括弧に注意)
と書き、
に
を付け加えてできる体と呼ぶ。
上の二つの定義では、すでに存在する
を
付け加えることを考えているが、
「変数」
を付け加えたものもそれに準じて定義される。すなわち、
- 環
に対して、
(角括弧)は
を係数にもつ
変数の多項式環であり、
- 体
に対して、
(丸括弧)は
を係数にもつ
変数の有理関数体である。
◆ 角括弧と丸括弧の使い分けは次のように覚えておくと良い。
環を作る→角括弧
体を作る→丸括弧
と
との違いがわかることが大事である。
[例]
定義 2.4
体
とその部分体
が与えられているとする。このとき、
の
-ベクトル空間としての次元を
の
上の拡大次数といい、
であらわす。
定理 2.1
体
とその部分体
が与えられていて、
とする。
このとき、
の任意の元
は
上
代数的である。
すなわち、ある
以上の整数
と
の元
が
あって、
をみたす。
問題 2.1
- 1.
-
は
を元として含むことを示しなさい。
- 2.
-
の
上のベクトル空間としての次元を求めなさい。
問題 2.2
は体であることを示しなさい。
Yoshifumi Tsuchimoto
2000-04-17