$A_R$ の $*$-表現 $H_R$ の正体

この節では、 $H_R$ を実際に構成し、その次元を計算しよう。 多項式環 $P={\Bbb C}[z_0,z_1,\dots,z_n]$ に、次のような内積をいれる。

$$\langle z^\alpha,z^\beta\rangle = \delta_{\alpha,\beta} \alpha_0!\cdot\dots\cdot \alpha_n!$$

( $\alpha,\beta$ にはマルチインデックスを使用している。 $\alpha=(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ である。)

この内積にかんし、 $z_i$ と $d/dz_i$ とは互いに共役になる。 とくに、$P$ の次数 $d$ の斉次部分 $P_d$ をとると、これは $\{z_i d/dz_j\}$ の作用に関して不変である。$d=R$ とし、$e_{ij}$ に $\{z_i d/dz_j\}$ を対応させれば、 $P_d$ が $H_R$ の具体的な表示を与えていることがわかる。 (たとえば、 $P_d$ の既約性は最高ウエイトベクトルの空間が一次元しかないことからわかる。)

$P_d$ の次元を求めるのは、高校生レベルの練習問題である。